[수학] 삼각함수(2) 호도법

Artiper

|2024. 8. 22. 23:03

육십분법(六十分法)

육십분법이란 최대 중심각(원의 한바퀴)을 360$^\circ$으로 표현한 것을 의미한다. 즉, 원의 최대 중심각을 360등분한 것이다. 나는 여기서 360분법이라는 명칭이 더 직관적이라 생각했지만, 여기서 1도를 또 60등분하여 60$^\prime$ (육십분)으로 표기한 것이 유래가 되어 육십분법이라 명칭이 불리게 되었다.

왜 중심각을 360등분 하였는지에 대한 이유는 해당 유튜브 영상에서 잘 설명해주었지만, 요약하자면 옛날 달력은 원이었고 1년이 360일이라 생각해서 그렇다고 한다.

호도법( 弧度法)

호도법은 각의 크기를 나타내는 여러 방법 중 하나이다. 육십분법에 비해 호도법은 삼각함수의 미분에서 편리하며, 원의 넓이와 호의 길이를 구하는 방식이 편하여 사용하게 되었다. 큰 이유는 미분의 간편함 때문. 미분 시 육십분법은 $^\circ$ 기호가 남게 되고, 실수와 1대1 대응이 가능하지 않다. 각도는 회전한 양에 대한 내용이고, 실수는 추상적 개념이기 때문이다. 호도법에서는 양과 수를 동일시하기 위해 기본적인 양을 설정하게 되는데 이것을 1라디안으로 설정하였으며, 1라디안을 1이라는 실수와 동일시하게 바라본다.

라디안(radian)

위에서 잠시 설명하였듯이, 호도법의 각도 단위는 $^\circ$ 대신, 라디안(radian)을 사용한다. 라디안의 식은 다음과 같으며 $\theta$는 임의의 각을 나타내는 변수로 사용된다:

$$ 중심각의 크기 \theta (라디안) = \frac{호의 길이}{반지름} $$

$$ \theta = \frac{s}{r}$$

1라디안은 하나의 반지름의 길이가 원의 원주위에 얼마나 돌아가는지를 말해준다. 따라서 라디안은 호의 길이와 반지름의 길이가 상수인 비율이다.
반지름이 $r$인 원이 있을 때, 호의 길이도 $r$인 부채꼴을 만들 수 있다. 그 때 호의 길이가 $r$인 중심각을 1라디안이라고 한다.
만약 호의 길이가 $2r$, 반지름의 길이가 $r$이면 $2rad$가 된다.

호의 길이와 중심각이 정비례함을 간단히 알아보면, 부채꼴의 호의 길이를 구하는 공식은 $2\pir = \frac{중심각}{360^\circ}$ 이므로, 중심각과 호의 길이는 정비례한다는 것을 알 수 있다.

그리고 라디안은 엄밀히 따지면 단위까지라고 보긴 어렵다고 한다.길이를 길이로 나눈 비율이기 때문에 특별한 단위가 있지 않다.

라디안은 radius + angle의 합성어이며, 한자로는 弧度法으로 표기한다. 즉, 호의 길이를 이용하여 각의 크기를 나타내는 방식이다.

1라디안의 예시, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Circle_radians.gif#/media/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:Circle_radians.gif

$\pi \space \text{rad}$는 왜 $180 ^\circ$일까?

라디안과 육십분법의 관계를 살펴보자. 우선 라디안은 호의 길이와 정비례하여 각의 크기를 나타낸다고 하였다. 그렇다면 180$^\circ$를 라디안으로 표현하려면 우선 반원의 호의 길이를 구하여야 하며 이는 $\pi r$이다.

반원의 호의 길이를 구한다 하였을 때, 전체 원주의 길이는 $2 \pi r$이고, 이를 절반 나누면 반원인 호의 길이가 나와 $\pi r$을 구할 수 있다. 해당 반원의 호 길이를 통해 라디안으로 변환할 수 있는데, 이는 반지름으로 나누어주면 구할 수 있다.

$호의 길이 = \pi r$
$반지름의 길이 = r$
$\theta (중심각의 크기, 라디안) = \frac{\pi r}{r} = \pi \space \text{rad}$

즉, 반원의 라디안은 $\pi \space \text{rad}$로 표현되는데, 반원의 각도는 육십분법으로 $180^\circ$이므로, $180^\circ = \pi \space \text{rad}$가 된다. 그리고 추후 radian은 사람들의 관례에 따라 따로 표기하지 않는다.

$\pi \space \text{rad}$를 어떻게 해석해야 하지?

어렵게 생각할 필요없다. $3.14 \space \text{rad}$라고 이해하면 된다. 라디안은 각도 단위이기에 앞의 3.14를 길이처럼 생각하는 것이 아니라 각도의 크기를 나타내는 숫자로 생각하는 것이다. 즉, 3.14 라디안 각도. ($67^\circ$보고 67도라 읽듯이.)

우선 핵심은 다음과 같다:

$\pi$는 지름을 기준으로 하는 원주의 비율을 나타내는 상수
라디안(rad)은 반지름을 기준으로 호의 길이 비율을 통해 나타낸 각도 단위

$\pi$는 단순히 상수일 뿐이므로, $\pi$에 대한 추가적인 해석은 필요없지만, $\pi \space \text{rad}$인 경우 rad가 생략되어 $\pi$로 표기될 때 $3.14$인 상수 $\pi$와 $3.14 \space {rad}$는 전혀 다르기 때문에 이 부분만 조심하여 해석하면 된다.

단위에 대해 보충 설명을 하자면 다음과 같다:

단위란, 길이·질량·시간 등 어떤 양을 수치로 나타내기 위해, 비교 기준이 되도록 크기를 정한 것이다. 예를 들어, 미터(m), 그램(g), 초(s) 등이 단위에 해당한다.즉, 단위란 본질적으로 비율 기반의 비교 기준이며 절대적인 것이 아니라 측정 대상과 비교하기 위한 상대 기준 값을 설정한 것일 뿐이다.

이런 관점에서 보면, 라디안도 마찬가지다. 반지름과 호의 길이의 비율을 통해 각도를 정의하기 때문에, 이는 비율을 기반으로 한 각도 단위로 해석해야 한다. 라디안은 분자와 분모 모두 길이 단위를 가지므로, 계산상 단위는 소거되어 숫자만 남지만, 그 수치는 "각도"라는 의미를 가진 해석 가능한 양이다. 따라서 단순한 수치로 받아들이는 것이 아니라, 반드시 '각도'로 해석해야한다.

원과 반원의 호 길이와 각도 요약

형태	반지름 r	호의 길이	중심각 (라디안)
반원	r	$\pi r$	$\pi \space \text{rad}$
전체 원	r	$2 \pi r$	$2 \pi \space \text{rad}$

1rad는 몇$^\circ$(도)일까?

$ 반지름 : 원주(원 \space 전체 둘레) = \alpha^\circ (1라디안의 각도) : 360^\circ(원 \space 전체 각도) $처럼 1라디안에 대해 비례식을 세울 수 있다.

$$ r : 2 \pi r = \alpha^\circ : 360^\circ $$

해당 비례식을 계산하면, $\alpha^\circ = \frac{180^\circ}{\pi}$가 되며 즉, $1rad = \frac{180^\circ}{\pi}$이다. 여기서 $\pi$는 라디안이 아닌, 원주의 계산식에서 나온 $\pi = 3.14159$의 파이이다. 그래서 라디안과 도 사이의 환산은 다음과 같다.

$$ 1rad = \frac{180^\circ}{\pi} \approx {57.2958}^\circ $$

라디안을 사용한 호의 길이와 넓이 계산

호의 길이

호의 길이는 다음과 같은 비례식을 세워 구할 수 있다.

$$ l : 2\pi r = \theta : 2\pi $$

$$ l \cdot 2 \pi = 2 \pi r \cdot \theta $$

$$ \therefore l = r \theta $$

부채꼴의 넓이

$$ s : \pi r^2 = \theta : 2 \pi $$

$$ 2 \pi s = \pi r^2 \cdot \theta $$

$$ s = \frac{1}{2}r^2 \theta $$

$$ s = \frac{1}{2}r * r \theta $$

$$ s = \frac{1}{2}r l $$

라디안을 사용하면 호의 길이와 부채꼴의 넓이를 간편하게 계산할 수 있다.

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