[수학] Uniform distribution (균등 분포)

Uniform distribution (균등 분포)

정의는 간단하다. 모든 확률변수에 대해 균일한 확률을 갖는 것이 균등 분포이다. 균등 분포는 이산확률변수, 연속확률변수 모두 나올 수 있는 형태의 분포이다. 연속확률변수에서의 균등 분포는 연속 균등 분포라고 하며, 이산확률변수에서 균등 분포는 이산균등분포라고 한다.

 

이 분포는 두 개의 매개변수 $a,b$를 받으며, 이 때 $[a,b]$ 범위에서 균등한 확률을 가진다. 보통 기호로 $u(a,b)$ 로 나타낸다. $u(0,1)$인 경우, 표준연속균등분포라 한다.

 

연속확률분포에서는 확률을 구간으로 설명하는데, 잠시 연속확률분포에 대해 설명하고 넘어가자면 특정 포인트의 확률값을 적으라면 엄청 작은 넓이(상대도수의 넓이, 이산확률분포의 넓이는 상대도수의 넓이로 구한다.)일 것이므로 $P(X=x)=0$이 된다. 그러므로 연속확률변수의 확률은 $P(a \le X \le b)$로  표현하게 된다. 그래서 연속확률 분포에서의 확률은 구분구적법을 이용하여 구한다.

 

 

연속균등분포의 확률 밀도 함수

$$ \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a \le x \le b \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} $$

 

모든 확률의 합은 1이므로, 이와 마찬가지로 폐구간 [a,b] 사이의 모든 확률의 합은 1이다. 그리고 모든 확률변수에 대해 균일한 확률을 가지므로 $f(x) = \frac{1}{b-a}$로 말할 수 있다.

 

 

이산균등분포의 확률 질량 함수 

이산확률분포에서는 확률 밀도 함수가 아닌 확률 질량함수라고 한다.

1, 2, 3, 4, 5 ,6 값을 가지는 주사위를 던지는 예시를 들면, 주사위를 던졌을 때 각각의 눈이 나올 확률은 $\frac{1}{6}$이며, 이는 모든 같은 확률을 가지므로 위처럼 균등분포를 따르게 된다.

 

 

참고자료

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%97%B0%EC%86%8D%EA%B7%A0%EB%93%B1%EB%B6%84%ED%8F%AC

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%EC%82%B0%EA%B7%A0%EB%93%B1%EB%B6%84%ED%8F%AC

https://m.blog.naver.com/mykepzzang/220841578412