[수학] 삼각함수(4) 삼각함수

필요한 경우, 선수 지식을 정리 해놓은 포스팅이 있으니 확인하시면 좋을 것 같습니다.

 

[수학] 삼각함수(1) 원의 개념

 

[수학] 삼각함수(2) 호도법

 

[수학] 삼각함수(3) 변의 명칭과 삼각비

 

일반각

각도라는 것은 두 개의 반직선이 벌어진 정도를 의미한다. 이렇게 변을 통해 $\angle \space XOP$가 정의 된다. 여기서 고정된 반직선인 $\overline{OX}$를 시초선이라 하며, 시초선 $\overline{OX}$에서 출발하여 회전되어 각도를 나타내는 반직선이 동경이며 $\overline{OP}$가 여기에 해당한다.

 

즉, 시초선을 기준으로 동경이 회전한 양을 각도(각의 크기)라고 할 수 있다.

 

일반각의 방향

동경이 시계 반대 방향으로 회전하는 것을 양의 방향이라 하며, 시계 방향으로 회전하는 것을 음의 방향이라고 한다. 그러므로 $45^\circ$와 $-315^\circ$는 다음 그림처럼 나타낼 수 있다.

 

또한 일반각은 $360^\circ$를 넘을 수 있다. $360^\circ$ + $45^\circ$도는 $405^\circ$도로 표기할 수 있으며 즉, $360^\circ$를 넘긴것도 정의 가능하다. 그래서 일반각은 다음과 같이 정의한다:

$$360^\circ \times n + \alpha^\circ$$

 

일반각은 $0^\circ$미만 $360^\circ$이상을 모두 표현 가능하며, $n$은 회전 횟수와 방향을 의미하는 정수이므로 음수도 가능하기에 양, 음의 방향을 모두 표현 가능하다. 즉, 어떤 각도가 주어지든 상관없으며, 반지름이 1인 원에서 주어지는 동경만 찾을 수 있다면 $sin \space \theta$, $cos \space \theta$, $tan \space \theta$를 찾을 수 있다.

 

즉, 일반각의 도입 원인은 예각을 통해서만 정의되던 삼각비를 $0^\circ$미만 $360^\circ$ 이상인 모든 각도에 대해 삼각 함수 값을 확장시켜 생각하기 위해 사용된다. 각이 어떻게 주어지든 해당하는 각을 일반각을 통해 알 수 있다.

 

또한 지난 호도법 포스팅에서 육십분법은 각도를 나타내는 단위 체계이므로 계산 과정에서 $^\circ$에 대한 미분 게산이 어려워질 때가 있다고 하였다. 그래서 순수하게 실수만 남는 호도법을 사용하는 것이며, 호도법을 통한 일반각의 표현은 다음과 같다:

$$ 2\pi \times n + \theta$$

 

$\theta$는 단순히 각을 나타내는 기호이므로 $^\circ$ 또는 $\text{rad}$ 모두 올 수 있지만, 여기서는 호도법이므로 $\theta$는 라디안으로 해석한다.

 

 

사족

여러 설명을 읽어본 결과, 육십분법은 실수가 아니라 라디안을 사용한다고 되어있는 것을 본적이 있는데, 필자의 생각으론 육십분법도 실수라고 생각을 하고 있다. 왜냐하면, 실수가 아니라면 각도 계산을 할 때 실수 체계의 연산인 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 자연스럽게 되는 것이 의문스럽기 때문. 그래서 필자는, 육십분법이 단위체계이므로 계산 과정에서 $^\circ$가 남는 것이 불편해서 라디안을 사용한다고 생각하는데, 전공이 수학은 아니라 잘은 모르겠다는 점.

 

 

삼각 함수(Trigonometric Function)

삼각 함수란 각의 크기를 삼각비 나타내는 함수이다. 조금 풀어서 설명하자면, 각도($\theta$)를 입력으로 받아, 비율(삼각비)을 출력하는 함수이다. 기존의 삼각비는 직각삼각형에서 $\theta$가 예각인 경우에서만 사용 가능했지만, 삼각 함수는 $90^\circ$를 넘어가거나 음의 각을 갖는 경우에도 삼각비를 사용할 수 있도록 확장한 것이다. 삼각 함수는 주기적으로 반복되는 성질도 존재하여 다양한 분야와 여러 상황에서 많이 사용되고 있다.

 

 

단위원을 통한 삼각 함수의 정의

$\sin$, $\cos$, $\tan$는 직각 삼각형에서 각 변들에 대해 비율을 나타내는 것이라고 기억하고 있을 것이다. 이를 단위원을 통해 예각이 아닌, 모든 각도에서 사용할 수 있게 확장함으로 삼각비가 아닌  $\sin$, $\cos$, $\tan$를 각 $\theta$가 주어졌을 때, 비율값을 출력으로 내뱉는 것을 삼각함수라고 부르게 된다.

 

 

단위원을 통해 삼각 함수를 정의하게 되면 다른 시각을 깨달을 수 있는데, $\sin$은 높이 정보, $\cos$은 가로 길이의 정보, $\tan$를 통해 $\theta$를 나타내는 동경의 기울기를 알 수 있다.

 

직각삼각형에 대한 삼각비인 $sin \space \theta$, $cos \space \theta$, $tan \space \theta$를 구하면 다음과 같다:

• $sin \space \theta = \frac{y}{r}$
• $cos \space \theta = \frac{x}{r}$
• $tan \space \theta = \frac{x}{y}$

그리고 위 직삼각형은 단위원안에서 그려졌으므로 반지름 $r$은 1이 되어 이와 같이 식이 정리된다:

• $sin \space \theta = y$
• $cos \space \theta = x$
• $tan \space \theta = \frac{x}{y}$

이처럼 정리한 식을 통해 $\theta$값이 바뀌더라도, 원주 위의 한 점이 $\theta$에 따라 결정이 되고 그 점의 좌표만으로 $sin$, $cos$, $tan$를 알 수 있게 된다. 이를 통해 $\theta$가 둔각일 때도 $sin \space \theta$, $cos \space \theta$, $tan \space \theta$를 정의 할 수 있다.

 

제일 중요한 점은 왜 삼각함수를 통해 각도를 입력 받고, 비율을 얻으려고 하는지이다. 무작정 $sin \space \theta$, $cos \space \theta$, $tan \space \theta$의 값을 모두 구하는 것이 아니라, 삼각함수가 가진 정보의 역할이 각각 다르므로 해결해야 하는 문제 상황에서 $\sin$이 필요하다면 이를 구하고, $\cos$ 또는 $\tan$가 필요하다면 이것에 대한 비율을 구하면 되는 것이다.

 

 

원의 반지름 길이가 1이 넘어도 삼각 함수를 사용할 수 있나?

전혀 문제없이 사용가능하며, 반지름이 $r$인 원이라면, $x$값과 $y$값에 대해서도 똑같이 $r$배만 해주면되어 삼각함수의 함수값은 일정하다. 

 

단위원에서는 각 $\theta$에 대해 다음과 같이 삼각함수를 정의하였다.

$$sin \space \theta = y$$

$$cos \space \theta = x$$

 

반지름이 $r > 1$인 원 즉, 반지름이 1보다 큰 원에서 삼각함수를 정의하면 반지름 r이 생략되지 않으므로 다음과 같이 수식이 형성된다:

$$sin \space \theta = \frac{y}{r}$$

$$cos \space \theta = \frac{x}{r}$$

 

그리고 반지름 r배를 해주어 x좌표와 y좌표를 구하는 것이 가능한 것은 다음과 같이 수식을 정리할 수 있기 때문이다:

$$ \sin(\theta) = \frac{y}{r} \Rightarrow y = r \sin(\theta) $$

$$ \cos(\theta) = \frac{x}{r} \Rightarrow x = r \cos(\theta) $$

$$ (x, y) = (r \cos(\theta), \space r \sin(\theta)) $$

 

 

예를 들어, 각도가 $60^\circ$로 주어진다면, 

$$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}, \quad \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

단위원 위의 점은 $\left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$이다.

 

여기서 반지름이 5라면, x, y 좌표도 비례적으로 5배 확대된다.

$$ x = 5 \cdot \cos(60^\circ) = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5 $$

$$ y = 5 \cdot \sin(60^\circ) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 4.33 $$

 

 

90$^\circ$를 넘는 $\theta$와 삼각함수의 부호

단위원에서는 $x$, $y$ 좌표가 $\cos \theta$와 $sin \theta$를 의미한다. 이를 통해 각이 $90^\circ$가 넘어가도 좌표들을 통해 삼각 함수를 정의할 수 있다고 하였다. 다만, 부호를 조심하여야 하는데 각 좌표들이 몇 사분면에 위치하는지에 따라 양수인지 음수인지가 달라진다.

 

 

 

 

 

 

삼각함수에서 $\theta$가 $90^\circ$이 되면

삼각함수에서 $\theta$가 $90^\circ$이 되면 $x = 0$, $y = 1$이므로 $\tan \theta = \frac{1}{0}$이 된다. 그러므로 정의되지 않는 부분이다. 물론, 극한의 개념을 도입하여 $\displaystyle \lim_{\theta \to \frac{\pi}{2}} = \frac{1}{0}$ 으로 생각한다면 양의 방향으로 발산한다고 할 수도 있다.

 

 

 

삼각함수의 역수

삼각형에서 비의 종류는 $\sin$, $\cos$, $\tan$보다 더 많은 종류의 비율이 존재한다. 예를 들어, $\sin$은 $\frac{높이}{빗변}$라면, $\frac{빗변}{높이}$ 형태인 삼각비도 존재할 것이다. 이것을 $\csc$(코시컨트)라고 한다. 새로 알아볼 3가지 삼각비는 $\sin$, $\cos$, $\tan$의 역수인 삼각비이다.

 

$$ \csc x = \frac{1}{\sin x} $$

$$ \sec x = \frac{1}{\cos x} $$

$$ \cot x = \frac{1}{\tan x} $$

 

이것들은 각각 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트라고 부르며, $\sin$, $\cos$, $\tan$이 0이 되는 지점에선 정의되지 않는 점만 주의하면 된다.

 

 

삼각함수의 그래프

삼각함수의 그래프는 추후 내용을 추가할 예정입니다.

 

삼각 함수의 그래프를 그릴 때 $\sin$, $\cos$은 비율값이기 때문에 반지름이 1보다 큰 원이라도 값 자체가 -1~1 사이에 있을 수 밖에 없다. 계산식 상 좌표에서 다시 반지름값을 나누어주기 때문에 값이 정규화되게 된다.

 

 

참고 자료

• https://youtu.be/1nNMySN5iII?si=wyBpF5cOei586lO8
• https://bigdaheta.tistory.com/91
• https://youtu.be/LcKBSN0hzaE?si=C4nC2HRj8knYF42r
• https://www.youtube.com/watch?v=CO0DxedsUkw&ab_channel=%EC%88%98%EC%95%85%EC%A4%91%EB%8F%85
• https://orbi.kr/00015072282
• https://slideplayer.com/slide/9490892/

 

 

수악 중독

• 삼각비 및 삼각함수를  설명한 영상
  • https://www.youtube.com/watch?v=CniQGALnvNc&ab_channel=%EC%88%98%EC%95%85%EC%A4%91%EB%8F%85
• 위 영상을 다 보면, 일반각에 대해 설명해주는데, 그 다음을  찾은 영상 링크 (왜인지는 모르겠으나, 그 다음의 일반각 영상을 찾기가 어려움. 영상의 시간 순서라던가 그런 것들이 좀 안맞는데.. 그러므로 예측되는 모든 영상을 훑어보고, 이에 대한 링크를 달아 놓음.
  • https://www.youtube.com/watch?v=Z4wgy6PZRo0&ab_channel=%EC%88%98%EC%95%85%EC%A4%91%EB%8F%85 (시기는 맞지만, 다른 카테고리의 영상처럼 보임)
  • https://www.youtube.com/watch?v=01lLemHITUk&ab_channel=%EC%88%98%EC%95%85%EC%A4%91%EB%8F%85 (더 이전 영상이지만, 영상 이름이 딱 일반각)
  • https://www.youtube.com/watch?v=ZhVNKNxVsBQ&ab_channel=%EC%88%98%EC%95%85%EC%A4%91%EB%8F%85 (제일 최신 영상. 아마 이를 통해 강의 내용을 리뉴얼을 했던 것 아닐까 예측. 내용을 들어보 아마 이어지는 영상은 이것인 듯 함)
• 호도법
  • https://www.youtube.com/watch?v=OO3f_JKVDAk&ab_channel=%EC%88%98%EC%95%85%EC%A4%91%EB%8F%85
• 삼각 함수
  • https://www.youtube.com/watch?v=8rtkeAzvpYE&ab_channel=%EC%88%98%EC%95%85%EC%A4%91%EB%8F%85