[수학] 삼각함수(1) 원의 개념

Artiper

|2024. 8. 20. 17:21

원

기하학에서 원(circle)은 평면 위의 한 점(원의 중심)에 이르는 거리가 일정한 평면 위의 점들의 집합인 도형이다. 원의 중심에서 원 위의 점까지 잇는 선분의 이름을 반지름이라고 하며 이 반지름은 모두 동일한 값을 가진다.

이러한 원에는 다양한 성질들이 존재하는데, 정리하자면 다음과 같다.

중심 (Center)
반지름 (Radius)
지름 (Diameter)
둘레, 원주 (Circumference)
면적 (Area)
호(Arc)와 현(Chord)

(1)중심, (2)반지름

원의 중심은 원이 모든 점이 동일한 거리에 있는 점이여 이는 원의 대칭성과 관련되어 중요한 역할을 한다. 이 점을 기준으로 원의 반지름과 지름이 결정이 된다.

반지름은 원의 중심에서 원 위의 임의의 점까지의 거리를 의미한다. 반지름 길이가 클수록 원의 크기도 거지며 $r$로 표기한다. 이를 통해 원의 면적 $A$(넓이)와 둘레 $C$(원주)를 표현할 수 있다:

$$ A = \pi r^2, \quad C = 2\pi r$$

(3) 지름

지름은 원의 한쪽 끝에서 다른 한쪽 끝까지 원을 관통하는 직선이다. 반지름에 대해 정확히 2배이며, 원의 가장 긴 직선이며 $d=2r$로 표현한다.

(4) 원주(둘레)

원주는 원의 가장자리의 길이를 의미한다. 원주는 원주율 $\pi$와 반지름 $r$를 이용하여 다음과 같이 계산한다:

$$ C = 2\pi r$$

원주율이란 원주와 지름의 비를 나타낸 것이며, $\pi$로 표기한다. 이 $\pi$값은 $3.14159...$이며 순환하지 않는 무한소수이다. 즉, 원주를 구하는 공식인 $2\pi r$$의 의미는 지름에 $pi$를 곱한 것이라 볼 수 있으며, 이는 원 둘레가 대략 지름의 3.14배 라는 것을 의미한다.

원의 원주와 지름의 비를 확인하면 다음과 같다:

$$\frac{원주}{지름}: \frac{3.1459...}{1} = 3.14159... \quad \frac{6.28318}{2}=3.14159...$$

정리하자면, 원주 $C$와 지름 $d$의 비율이 $3.14159...$이며 모든 원에서 성립한다.

$$\frac{C}{d}=3.14159... = \pi$$

왜 원주가 $3.14159...$인지에 대해 흥미롭게 설명한 영상들이 많다.

(5) 면적 (Area)

원의 면적은 원 내부의 전체 공간을 나타내며, $\pi r^2$으로 계산한다. 원의 면적을 구하는 방법이 $\pi r^2$인 이유는 해당 유튜브 영상에서 잘 설명되어 있다. 간단히 설명하자면, 원을 극한으로 작은 단위까지 분리한 뒤, 이를 이어 붙이면 완벽한 사각형처럼 만들 수 있다.

직사각형의 세로는 원의 반지름과 동일하며, 직사각형의 가로를 원주와 비교하면 원주의 $\frac{1}{2}$이다. 그리고 원주는 $2 \pi r $이므로, 직사각형의 가로는 $\frac{1}{2} 2 \times 2 \pi r$을 통해 $\pi r$이라는 사실을 알 수 있다. 그래서 직사각형의 세로인 $r$과 직사각형의 가로인 $\pi r$을 곱하면 직사각형의 넓이가 되고 이는 또한 원의 넓이를 구한 것이 되어 $\pi r^2$가 된다.