[선형대수] 1. 벡터

벡터의 개념

벡터를 바라보는 시각은 크게 3가지가 존재한다. 

• 물리학자
  • 공간상의 한 화살표 = 길이 + 방향
• 컴퓨터 과학자
  • 숫자의 나열을 의미하며 배열, 리스트와 같은 자료구조를 떠올리면 된다.
• 수학자 
  • 물리학자와 컴퓨터 과학자의 관점을 합치려(일반화) 한다. "연산만 성립하면 벡터"라는 관점이지만 추상적인 관점이라 3Blue 1Brown은 시리즈 막바지까지 이 관점에 대해선 무시하는 것이 정신 건강에 좋다고 한다.

 

공부를할 때는 꼬리가 원점에 고정된 화살표를 떠올리자. 

벡터의 좌표는 한 쌍의 숫자이며 벡터의 머리가 꼬리로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타낸다. 첫 번째 숫자는 x축을 따라 얼마나 움직였는지를 의미하며, 양수는 오른쪽 움직임을 가리키고, 음수는 왼쪽 움직임을 가리킨다. 두 번째 숫자는 y축에 나란히 얼마나 움직였는지를 나타낸다. 양수는 위쪽 움직임을 기리키고, 음수는 아래쪽 움직임을 가리킨다.

 

벡터를 점과 구별하기 위해 이 숫자 한 쌍은 세로로 적은 뒤, 대괄호로 둘러싸서 나타낸다:

$$ \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} $$

 

 

 

1.1 벡터의 덧셈

벡터v의 머리에 벡터w의 꼬리를 옮겨준다. 거의 유일하게 선형 대수에서 벡터가 원점을 벗어나는 상황. (삼각형법이라고도 부른다.)

 

$$
\begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} x_1 +x_2 \\ y_1 + y_2 \end{bmatrix}
$$

 

 

아래의 경우가 안되는 이유는, 각 벡터가 어떠한 움직임을 나타낸다고 보기로 하는데, 공간에서 어떤 거리와 방향을 가진 발걸음이다. 첫 번째 벡터를 따라 발걸음을 옮기고, 그 다음 두 번째 벡터에 의해 묘사된 방향과 거리로 발걸음을 옮기면 결과적으로 시작점으로부터 두 벡터의 합 벡터를 따라 움직인 것과 같게 된다.

 

이는 마치 수직선을 이용한 덧셈에서 오른쪽으로 2칸을 간 뒤, 추가적으로 5칸을 이어서 간 것과 동일하다고 생각하면 된다.

 

1-2 상수배 (multiplication)

 

벡터의 방향을 유지한 채 길이를 늘리고 줄이는 것. 영어로는 scaling이라고 하는데, scalar에 대한 중요한 직관이 나온다. 벡터 앞에 붙는 곱하는 숫자를 scaler(스칼라)라고 부름. 한국식 발음으로 스칼라라고 부르게 되며 scaler라는 직관이 없어져버렸었다.

 

선형대수 전체에서 숫자들의 주 역할이 벡터를 "스케일"하는 것이라, 스칼라를 그냥 숫자(number)와 같은 의미로 사용하기도 한다.

 

$$ 2 \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 2x \\ 2y \end{bmatrix}
$$

 

 

 

 

참고 자료

• https://www.youtube.com/watch?v=ArgTeYVuJUo&list=PLkoaXOTFHiqhVDo0nWybNmihCP_4BjOFR&index=2